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已知点A，B，C是不在同一直线上的三个点，O是平面ABC内一定点，P是△ABC内的一动点，若OP−OA＝λ(AB+12BC)，λ∈[0，+∞），则点P的轨迹一定过△ABC的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心
题目详情
已知点A，B，C是不在同一直线上的三个点，O是平面ABC内一定点，P是△ABC内的一动点，若
−
＝λ(
+
)，λ∈[0，+∞），则点P的轨迹一定过△ABC的（ ）
A．外心
B．内心
C．重心
D．垂心
| OP |
| OA |
| AB |
| 1 |
| 2 |
| BC |
A．外心
B．内心
C．重心
D．垂心
▼优质解答
答案和解析
如图，取BC的中点D，连接AD，
则
+
＝
+
＝
．又
−
＝λ(
+
)，
∴
−
＝λ
，即
＝λ
．
又λ∈[0，+∞），
∴P点在射线AD上．
故P的轨迹过△ABC的重心．
故选C
如图，取BC的中点D，连接AD，则
| AB |
| 1 |
| 2 |
| BC |
| AB |
| BD |
| AD |
| OP |
| OA |
| AB |
| 1 |
| 2 |
| BC |
∴
| OP |
| OA |
| AD |
| AP |
| AD |
又λ∈[0，+∞），
∴P点在射线AD上．
故P的轨迹过△ABC的重心．
故选C
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