一个三角形内部是否存在一点,过这点的任意一条直线都可以把这个三角形的面积分为相等的两份?这个点是三角形的重心吗?为什么?

Question

一个三角形内部是否存在一点,过这点的任意一条直线都可以把这个三角形的面积分为相等的两份?
这个点是三角形的重心吗?为什么?

Answer 1

不存在
用反证法
若存在这样一个点P
连接AP,则过AP的直线平分三角形的面积
所以AP肯定必须过BC边的中点
同理
BP连线会过AC边中点,CP连线会过AB边中点
所以P为三条中线的交点,即为重心
由于三角形的重心分三角形的中线为2：1的两部分 （1）
过中心P做EF‖BC,分别交AB、AC于E、F点
则三角形AEF∽三角形ABC
且相似比为中线的比例=2：3 根据（1）
由于面积比等于相似比的平方
所以S三角形AEF：S三角形ABC=4：9
所以由EF线分得的三角形两部分面积比为4：（9-4）=4：5
这就与假设的过P的所有直线都分三角形成相等的两部分矛盾.
所以P不存在