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在△ABC中,AB=AC,点O和I分别为△ABC的外心和内心,点D在边AC上,OD⊥CI,求证:ID∥AB.
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在△ABC中,AB=AC,点O和I分别为△ABC的外心和内心,点D在边AC上,OD⊥CI,求证:ID∥AB.
▼优质解答
答案和解析
证明:(1)延长AO交BC于M,连接OC.
∵AB=AC,O为外心,
∴AM⊥BC,
∴AM平分∠BAC,
∴∠CAB=2∠7,
∵I为内心,
∴点I在AM上,CI平分∠BCA,
∴∠3=∠ACI,
∵CI⊥DO,
∴∠1+∠4=90°,
∵∠3+∠5=90°,∠4=∠5,
∴∠1=∠3,
∴∠1=∠ACI,
而∠1+∠DOI=180°,
∴∠ACI+∠DOI=180°,
∴C、I、O、D四点共圆;
∴∠2=∠6,
∵点O为外心,
∴OC=OA,
∴∠7=∠OCA,
∴∠6=2∠7=∠2
而∠CAB=2∠7,
∴∠2=∠CAB,
∴ID∥AC.
∵AB=AC,O为外心,
∴AM⊥BC,
∴AM平分∠BAC,
∴∠CAB=2∠7,
∵I为内心,
∴点I在AM上,CI平分∠BCA,
∴∠3=∠ACI,
∵CI⊥DO,
∴∠1+∠4=90°,
∵∠3+∠5=90°,∠4=∠5,
∴∠1=∠3,
∴∠1=∠ACI,
而∠1+∠DOI=180°,
∴∠ACI+∠DOI=180°,
∴C、I、O、D四点共圆;
∴∠2=∠6,
∵点O为外心,
∴OC=OA,
∴∠7=∠OCA,
∴∠6=2∠7=∠2
而∠CAB=2∠7,
∴∠2=∠CAB,
∴ID∥AC.
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