如图，若AD、BE为△ABC的两条角平分线，I为内心，若C，D，I，E四点共圆，且DE=1，则ID=．

Question

如图，若AD、BE为△ABC的两条角平分线，I为内心，若C，D，I，E四点共圆，且DE=1，则ID=___．

Answer 1

连接CI，
∵AD、BE为△ABC的两条角平分线，
∴∠BAI=(1)/(2)∠BAC，∠IBA=(1)/(2)∠ABC，
∵∠AIB=180°-∠BAI-∠IBA，
∴∠AIB=180°-(1)/(2)（∠CAB+∠CBA），
又∵∠ABC+∠CBA+∠ACB=180°，
∴∠AIB=90°+(1)/(2)∠C，
∵C，D，I，E四点共圆，
∴∠EID+∠ACB=180°，
又∵∠AIB=∠EID，
∴90°+(1)/(2)∠C+∠C=180°，
∴∠ACB=60°，
∵I为内心，
∴∠ICD=30°，
∵DE=1，
∴(DE)/(sin60°)=2R，
∴R=(√(3))/(3)，
∴(ID)/(sin30°)=2R，
∴ID=(√(3))/(3)，
故答案为：(√(3))/(3)．