在三角形ABC中,AB=8,BC=7,AC=5,内心为I,求AI的长度

Question

在三角形ABC中,AB=8,BC=7,AC=5,内心为I,求AI的长度

Answer 1

过点I分别作BC、CA、AB的垂线,
垂足分别为D、E、F,则有：
AE＝AF,BD＝BF,CD＝CE
设AE＝AF＝x,BD＝BF＝y,
CD＝CE＝z
∴x＋y＝8
y＋z＝7
x＋z＝5
解得：x＝3,y＝5,z＝2
记p＝1/2(AB＋BC＋CA)＝x＋y＋z＝10
由海伦定理得：
S＝根号[10×(10－8)×(10－7)×(10－5)]＝10根号3
而S＝1/2×(AB＋BC＋CA)·IE＝10IE
∴10IE＝10根号3
得：IE＝根号3
∴AI＝根号(IE^2＋AE^2)＝2根号3