O,I分别是锐角三角形ABC的外心,内心.O',I'分别是O,I关于BC的对称点.已知A、B、O'、C四点共圆.那么,点I'的位置是（）A.在圆O外B.在圆O内C.在圆O上D无法确定

Question

O ,I分别是锐角三角形ABC的外心,内心.O',I'分别是O,I关于BC的对称点.
已知A、B、O'、C四点共圆.那么,点I'的位置是（ ）
A.在圆O外 B.在圆O内 C.在圆O上 D无法确定

Answer 1

C. I'在⊙O上.
∵∠BOC = 2∠BAC (圆周角等于其所对圆心角的一半),
∵∠BO‘C = ∠BOC (O', O关于BC对称),
又∵∠BO‘C+∠BAC = 180° (圆内接四边形ABO'C对角互补),
∴3∠BAC = 180°, 即∠BAC = 60°.
∵I是内心,
∴∠IBC = ∠ABC/2, ∠ICB = ∠ACB/2,
∴∠BIC = 180°-∠IBC-∠ICB
= 180°-(∠ABC+∠ACB)/2
= 180°-(180°-∠BAC)/2
= 120°.
∵∠BI‘C = ∠BIC (I', I关于BC对称),
∴∠BI‘C+∠BAC = 120°+60° = 180°,
∴A, B, I', C四点共圆 (对角互补的四边形ABI'C是圆内接四边形).
即I'在⊙O上.
注: 由△ABC是锐角三角形, O, I, A在BC的同侧, O', I'在BC的另一侧.