已知点A为定点,线段BC在定直线l上滑动,已知│BC│=4,点A到直线l的距离为3,求三角形ABC的外心的轨迹方程.

Question

已知点A为定点,线段BC在定直线l上滑动,已知│BC│=4,点A到直线l的距离为3,求三角形ABC的外心的轨迹方程.

Answer 1

以L为X轴,定点A（0,3）建立坐标系,因为外心是中垂线的交点,假设外心坐标是G（x’,y‘）（注意有上标的）只要求出y’与x‘的关系就可以求出外心轨迹.
因为G在BC的中垂线上,而BC在X轴上,所以BC的中点一定是（x’,0）BC长4,所以B（x'-2,0）C（x'+2,0）BC的中垂线是一条平行于Y轴的直线X=x‘,
当x'=-2时,C点就是原点,此时AC的中垂线是Y=3/2,BC中垂线是X=-2,与是外心是（-2,3/2）即y'=3/2
当x'不等于-2时,AC的中点是（x'+2/2,3/2）（x'+2是分子,下同）
AC的斜率是（0-3）/（x'+2）=-3/（x'+2）（x'是不等于-2的）,于是中垂线斜率是x'+2/3
于是AC中垂线的方程是Y-3/2=（x'+2）/3*（X-x'+2/2）.（1）
而BC中垂线方程是X=x' 与（1）联立解得y'=（x'^2+5）/6
当x'=-2时y'也满足所以,外心轨迹方程是：Y=（X^2+5）/6(去掉上标正规化轨迹方程)