设∆ABC的三顶点坐标分别为A(-2,7,15)、B(1,16,3)、C(10,7,3).试求∆ABC的外心坐标.

Question

设 ∆ABC 的三顶点坐标分别为 A(- 2 ,7 ,15) 、 B(1,16 ,3)、 C
(10 ,7 ,3).
试 求 ∆ABC 的外心坐标.

Answer 1

外心即外接圆圆心,而圆为平面图形,
所以圆心 O(x,y,z) 在平面ABC上.且|PA|=|PB|=|PC|
设平面ABC为 ax+by+cz+d=0 由此行列式|x,y,z,1；-2,7,15,1；16,1,3,1；10,7,3,1|=0
整理得到:-108x-108y-108z+2160=0,既:x+y+z-20=0…①
根据距离公式:√[(x+2)^2+(y-7)^2+(z-15)^2]
=√[(x-1)^2+(y-16)^2+(z-3)^2]
且:√[(x+2)^2+(y-7)^2+(z-15)^2]
=√[(x-10)^2+(y-7)^2+(z-3)^2]
整理得到:6x+18y-24z=-12…………………………………②
且24x-24z=-120……………………………………………③
联立上述三个方程,解得x=3,y=9,z=8,所以内心为三角形的（3,9,8）