在△ABC的边AB，BC，CA上分别取D，E，F．使得DE=BE，FE=CE，又点O是△ADF的外心．（Ⅰ）证明：D，E，F，O四点共圆；（Ⅱ）证明：O在∠DEF的平分线上．

Question

在△ABC的边AB，BC，CA上分别取D，E，F．使得DE=BE，FE=CE，又点O是△ADF的外心．

（Ⅰ）证明：D，E，F，O四点共圆；
（Ⅱ）证明：O在∠DEF的平分线上．

Answer 1

（Ⅰ）∵△BDE中，DE=BE，∴∠EDB=∠B，可得∠BED=180°-2∠B，
同理可得∠CEF=180°-2∠C，
∴∠DEF=180°-∠BED-∠CEF=180°-（180°-2∠B）-（180°-2∠C）=2∠B+2∠C-180°，
∵∠B+∠C=180°-∠A，
∴∠DEF=2∠B+2∠C-180°=2（180°-∠A）-180°=180°-2∠A
∵∠DEF=180°-2∠A＞0，
∴∠A是锐角，可得△ADF的外心O与顶点A在DF的同侧，
因此，△ADF的外接圆中，∠DOF=2∠A
∴∠DEF=180°-∠DOF，得∠DEF+∠DOF=180°，
因此，四边形ODEF是圆内接四边形，即D、E、F、O四点共圆；
（Ⅱ）由（Ⅰ）的证明，可得
∵在四边形ODEF的外接圆中，∠DEO与∠DFO对相同的弧，
∴∠DEO=∠DFO，同理可得∠FDO=∠FEO，
∵O是△ADF的外心，可得OD=OF，
∴∠FDO=∠DFO，可得∠FEO=∠DEO，即O在∠DEF平分线上．