已知，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，则△ABC的外接圆半径和△ABC的外心与内心之间的距离分别为（）A．5和5B．52和52C．52和5D．52和12

Question

已知，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，则△ABC的外接圆半径和△ABC的外心与内心之间的距离分别为（　　）

A．5和√(5)
B．(5)/(2)和(√(5))/(2)
C．(5)/(2)和√(5)
D．(5)/(2)和(1)/(2)

Answer 1

（1）∵∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，
∴AB=5cm（勾股定理）．
∴△ABC的外接圆半径长R=(AB)/(2)=(5)/(2)cm；

（2）连接ID，IE，IF，
∵⊙I是△ABC的内切圆，
∴ID⊥BC，IE⊥AC，IF⊥AB，
∴∠CDI=∠CEI=∠C=90°，
又∵DI=EI，
∴四边形CDIE是正方形．
∴CD=CE=DI=IE；
∵AC=3cm，BC=4cm，由（1）知AB=5cm，
∴△ABC的内切圆半径长r=(a+b−c)/(2)，
=(3+4−5)/(2)
=1cm．
即DI=EI=FI=1cm；
∴CD=1cm．
∵BC=4cm，
∴BD=3cm．
∵⊙I是△ABC的内切圆，
∴BD=BF=3cm．
∵BO=(5)/(2)cm，
∴OF=(1)/(2)cm．
在Rt△IFO中，IO=(√(5))/(2)cm（勾股定理）．
∴△ABC的外心与内心之间的距离为(√(5))/(2)cm．
故选B．