锐角△ABC中，O、G分别为此三角形的外心和重心，若OG∥AC，求证：tanA、tanB、tanC成等差数列．

Question

锐角△ABC中，O、G分别为此三角形的外心和重心，若OG∥AC，求证：tanA、tanB、tanC成等差数列．

Answer 1

∵OG∥AC，
∴S△AOC＝S△AGC＝(1)/(3)S△ABC，
∴(1)/(2)R•Rsin∠AOC＝(1)/(3)×(1)/(2)AB•AC•sin∠ABC，
∴3R²•sin2B=2R•2R•sinAsinBsinC，
∴3cosB=2sinAsinC，
-3cosAcosC+3sinAsinC=2sinAsinC，
∴cosAcosC=(1)/(2)cosB，
∴tanA+tanB=(sinA)/(cosA)+(sinC)/(cosC)=(sin(A+C))/(cosAcosC)=(sinB)/((1)/(2)cosB)＝2tanB，
∴tanA、tanB、tanC成等差数列