已知正四棱锥(顶点在底面的射影是底面正方形的中心)p-ABCD.1.设AB中点为M,PC中点为N.证明：MN//平面PAD.2.若其正视图是一个边长分别为根号3,根号3,2的等腰三角形,求其表面积和体积.

Question

已知正四棱锥(顶点在底面的射影是底面正方形的中心)p-ABCD.
1.设AB中点为M,PC中点为N.证明：MN//平面PAD.
2.若其正视图是一个边长分别为根号3,根号3,2的等腰三角形,求其表面积和体积.

Answer 1

1证明：取CD中点L,连接LM,LN
则LN,LM分别是⊿PDC和正方形ABCD的中位线
所以：LN‖PD,LM‖AD
又因为：LN∩LM=M,AD∩PD=D
所以：平面LMN//平面PAD
又因为：MN包含于平面LMN
所以：MN//平面PAD.
因为其正视图是一个边长分别为根号3,根号3,2的等腰三角形
所以此正四棱锥的底边为2,顶点到底边的距离为√3
画图可求：侧棱PA=2,正四棱锥的高为√2
故：其表面积=4×（1/2×2×√3）＋2²=4+4√3
其体积=1/3×2²×√2=4√2/3