如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D在AC上，∠ACB=90°，BC=1，AC=CC1=2．（1）证明：AC1⊥A1B；（2）设二面角A1-AB-C的正切值为15．求直线AA1与平面BCC1B1的距离．

Question

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，点A₁在平面ABC内的射影D在AC上，∠ACB=90°，BC=1，AC=CC₁=2．

（1）证明：AC₁⊥A₁B；
（2）设二面角A₁-AB-C的正切值为√(15)．求直线AA₁与平面BCC₁B₁的距离．

Answer 1

证明：（1）因为A₁D⊥平面ABC，A₁D⊂平面AA₁C₁C，
故平面AA₁C₁C⊥平面ABC，
又BC⊥AC，所以BC⊥平面AA₁C₁C，连接A₁C．
因为侧面AA₁C₁C为菱形，故AC₁⊥A₁C．
由三垂线定理得AC₁⊥A₁B．
（2）BC⊥平面AA₁C₁C，BC⊂平面BCC₁B₁．
故平面AA₁C₁C⊥平面BCC₁B₁．
作A₁E⊥CC₁，E为垂足，则A₁E⊥平面BCC₁B₁．
作DF⊥AB，F为垂足，连接A₁F．
由三垂线定理得A₁F⊥AB，
故∠A₁FD为二面角A₁-AB-C的平面角．
设AD=x则A₁D=√(4-x2)，DF=(√(5))/(5)x，而tan∠A₁FD=(A1D)/(DF)=√(15)，
故x=1，所以D是AC的中点，
故A1D=√(3)为直线AA₁与平面BCC₁B₁的距离．