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正四棱锥S-ABCD中,O为顶点在底面上的射影,P为侧棱SD的中点,且SO=OD,则直线BC与平面PAC所成的角是.
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正四棱锥S-ABCD中,O为顶点在底面上的射影,P为侧棱SD的中点,且SO=OD,则直线BC与平面PAC所成的角是 ______.
▼优质解答
答案和解析
如图所示,以O为原点建立空间直角坐标系O-xyz.
设OD=SO=OA=OB=OC=a,
则A(a,0,0),B(0,a,0),
C(-a,0,0),P(0,−
,
).
则C=(2a,0,0),A=(−a,−
,
),
C=(a,a,0).
设平面PAC的法向量为n,可求得n=(0,1,1),
则cos<C,n>═
=
.
∴<C,n>=60°,
∴直线BC与平面PAC所成的角为90°-60°=30°.
故答案为:30°
设OD=SO=OA=OB=OC=a,
则A(a,0,0),B(0,a,0),
C(-a,0,0),P(0,−
a |
2 |
a |
2 |
则C=(2a,0,0),A=(−a,−
a |
2 |
a |
2 |
C=(a,a,0).
设平面PAC的法向量为n,可求得n=(0,1,1),
则cos<C,n>═
a | ||||
|
1 |
2 |
∴<C,n>=60°,
∴直线BC与平面PAC所成的角为90°-60°=30°.
故答案为:30°
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