已知抛物线y^2＝2px（p>0）,过焦点F的直线l交抛物线A、B两点A、B在准线上的射影是A'、B',求证：A、O、B'三点共线.且证明角A'OB'为90度。请不要复制粘贴好吗？

Question

已知抛物线y^2＝2px（p>0）,过焦点F的直线l交抛物线A、B两点
A、B在准线上的射影是A'、B',求证：A、O、B'三点共线.
且证明角A'OB'为90度。请不要复制粘贴好吗？

Answer 1

A,B两点均在抛物线y^=2px上,∴可设A(y1^/2p,y1),B(y2^/2p,y2)
易知抛物线焦点为F(p/2,0),准线为x=-p/2
∵BC‖x轴,且C在准线上,∴C点坐标为：C(-p/2,y2)
过F的直线可设为：y=k(x-p/2)
将其与抛物线方程联立,消去x,得到关于y的一元二次方程：
y^-(2p/k)*y -p^=0
A,B为两曲线交点,∴此方程的两个实根必为A,B两点的纵坐标y1,y2,有：
y1*y2=-p^
y2=-p^/y1 ①
要想证明直线AC过原点O,只需证明三点共线即可
由：A(y1^/2p,y1),C(-p/2,y2),O(0,0),可求出：
kAO=(y1^/2p-0)/(y1-0)=y1/2p
kCO=(-p/2-0)/(y2-0)=-p/(2y2)
将①式代入kCO的表达式,可得：
kCO=-p/[2*(-p^/y1)]=y1/2p=kAO
由此可知,A,O,C三点共线