平行六面体的底面是矩形，侧棱长为2cm，点在底面ABCD上的射影H是CD的中点，与底面ABCD成60°的角，二面角的平面角等于30°，求此平行六面体的表面积．

Question

平行六面体的底面是矩形，侧棱长为2cm，点在底面ABCD上的射影H是CD的中点，与底面ABCD成60°的角，二面角的平面角等于30°，求此平行六面体的表面积．____

Answer 1

【分析】平行六面体的表面积是各个面的面积和，相对的两个面相同，故由侧棱长为2cm，点C₁在底面ABCD上的射影H是CD的中点，CC₁与底面ABCD成60°的角，可求出侧面CDD₁C₁的面积；由二面角A-CC₁-D的平面角等于30°，可以求出底面边长AD，从而求出底面矩形ABCD的面积和侧面矩形ADD₁A₁的面积，即得此平行六面体的表面积．

如图，在平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是矩形，

∴CD⊥BC，
又点C₁在底面ABCD上的射影H是CD的中点，
∴C₁H⊥平面ABCD，C₁H⊥BC，
∴BC⊥平面CDD₁C₁，BC⊥CC₁，
∴∠C₁CH是CC₁与底面ABCD成的角，即∠C₁CH=60°；
又CC₁=2，∴，CH=1，
∴CD=2CH=2，
∴▱CDD₁C₁的面积为：S₁=CD•C₁H=2×=2；
又由BC∥AD，且BC⊥平面CDD₁C₁，
∴AD⊥平面CDD₁C₁.
过点D作DE⊥CC₁，垂足为E，连接AE，则AE⊥CC₁，
∴∠AED是二面角A-CC₁-D的平面角，∴∠AED=30°．
在RtΔAED中，DE=，∠ADE=90°，∴AD=1，
∴矩形ABCD的面积为：S₂=AD•CD=1×2=2，
矩形ADD₁A₁的面积为S₃=AD•DD₁=1×2=2，
所以，平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁的表面积为：S=2S₁+2S₂+2S₃==．

【点评】本题是求多面体的表面积，即各个面的面积和；本题的关键是用好直线与平面所成的角，二面角的平面角．