在矩形ABCD中,AB=3√3,BC=3,沿对角线BD将BCD折起,使点C移到C',且C'在平面ABD的射影O恰好在AB上.（1）:...在矩形ABCD中,AB=3√3,BC=3,沿对角线BD将BCD折起,使点C移到C',且C'在平面ABD的射影O恰好在AB上.（1）

Question

在矩形ABCD中,AB=3√3,BC=3,沿对角线BD将BCD折起,使点C移到C',且C'在平面ABD的射影O恰好在AB上.（1）:...
在矩形ABCD中,AB=3√3,BC=3,沿对角线BD将BCD折起,使点C移到C',且C'在平面ABD的射影O恰好在AB上.（1）:求证:AC'垂直BC'.（2）:求AB与平面BC'D所成的角的正弦值,（3）:求二面角C'－BD-A的正切值

Answer 1

1、从C‘作CH⊥平面ABD,则H在AB上,H是C’在平面ABD上的射影,
∴平面ABC‘⊥平面ABD,
∵DA⊥AB,（已知四边形ABCD是矩形）,
∴AD⊥平面ABC’,
∵BC‘∈平面ABC’,
∴AD⊥BC’,
∵《BC‘D=90°,（原矩形的一个直角）,
∵DC’∩AD=D,
∴BC；⊥平面ADC‘,
∵AC’∈平面ADC‘,
∴AC‘⊥BC’.
2、∵H∈AB,
∴HB与平面BDC‘所成角就是AB与平面BDC’所成角,
由前所述△ABC‘是RT△,
根据勾股定理,
AC’=√(AB^2-BC'^2)=3√2,
∵C‘H*AB=AC’*BC‘=2S△C’AB,
∴C‘H=3*3√2/（3√3）=√6,
∵RT△C‘AH∽RT△BAC’,
∴AC‘^2=AH*AB,
∴AH=18/3√3=2√3,
∴BH=3√3-2√3=√3,
∴BH/AH=1/2,
∴S△BDH=S△ABD/3=（3√3*3/2）/3=3√3/2,
三棱锥C‘-BHD体积：VC-BDH=S△BDH*C’H/3=3√2/2,
设H至平面BDC’距离为 d,
S△BDC’=9√3/2,
VH-BDC'=d*S△BDC‘=3√3d/2,
∴3√3d/2=3√2/2,
d=√6/3,
设AB与平面BDC‘成角为α,
∴sinα=d/BH=(√6/3)/√3=√2/3.
3、由前所述,△BDH就是△BDC‘在平面ABD上的投影,
设二面角A-BD-C’平面角为θ,
则S△BDH=S△BDC‘*cosθ,
∴cosθ=S△BDH/S△BDC‘=（3√3/2）/（9√3/2）=1/3,
sinθ=√（1-1/9）=2√2/3,
∴tanθ=sinθ/cosθ=2√2.
二面角C'－BD-A的正切值为2√2.