AO是平面δ的一条斜线,AB是AO在平面α内的射影,AC是平面α内经过A的一条直线,设AO与AB所成的角为α,AB与AC所成角为β,AO与AC所成的角为θ,求证：cosθ=cosα×cosβ

Question

AO是平面δ的一条斜线,AB是AO在平面α内的射影,AC是平面α内经过A的一条直线,设AO与AB所成的角为α,AB与AC所成角为β,AO与AC所成的角为θ,求证：cosθ=cosα×cosβ

Answer 1

画图易证.这是一个公式.
设OB⊥平面δ,垂足B,OA为斜线,A为斜足,AB为OA的射影,AC在平面内.
过B在平面内作BC⊥AC,垂足为C,则BC是OC在平面δ内的射影,
由三垂线定理,得 OC⊥AC.由条件 ∠OAB=α,∠BAC=β,∠OAC=θ
在Rt⊿OAB中,cosα=AB/OA,
在Rt⊿ABC中,cosβ=AC/AB,
在Rt⊿OAC中,cosθ=AC/OA,
从而 cosα×cosβ=(AB/OA)×(AC/AB)=AC/OA=cosθ