如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，AB=4，PA=3，A点在PD上的射影为G点，E点在AB上，平面PEC⊥平面PDC．（Ⅰ）求证：AG∥平面PEC；（Ⅱ）求AE的长；（Ⅲ）求二面角E-PC-A

Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，AB=4，PA=3，A点在PD上的射影为G点，E点在AB上，平面PEC⊥平面PDC．

（Ⅰ）求证：AG∥平面PEC；
（Ⅱ）求AE的长；
（Ⅲ）求二面角E-PC-A的正弦值．

Answer 1

（Ⅰ）证明：∵CD⊥AD，CD⊥PA
∴CD⊥平面PAD∴CD⊥AG，
又PD⊥AG
∴AG⊥平面PCD           …（2分）
作EF⊥PC于F，因面PEC⊥面PCD
∴EF⊥平面PCD∴EF∥AG
又AG⊄面PEC，EF⊂面PEC，
∴AG∥平面PEC     …（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知A、E、F、G四点共面，又AE∥CD∴AE∥平面PCD
∴AE∥GF∴四边形AEFG为平行四边形，∴AE=GF       …（5分）
∵PA=3，AB=4∴PD=5，AG=(12)/(5)，
又PA²=PG•PD∴PG=(9)/(5)…（6分）
又(GF)/(CD)=(PG)/(PD)∴GF=((9)/(5)×4)/(5)=(36)/(25)∴AE=(36)/(25)…（8分）
（Ⅲ）过E作EO⊥AC于O点，易知EO⊥平面PAC，
又EF⊥PC，∴OF⊥PC∴∠EFO即为二面角E-PC-A的平面角  …（10分）EO=AE•sin45°=(36)/(25)×(√(2))/(2)=(18√(2))/(25)，又EF=AG=(12)/(5)
∴sin∠EFO=(EO)/(EF)=(18√(2))/(25)×(5)/(12)=(3√(2))/(10)…（13分）