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如图,已知正方形纸片ABCD的边长为4,⊙O的半径为1,圆心在正方形的中心上,将纸片按图示方式折叠,使EA′恰好与⊙O相切于点A′,延长FA′交CD边于点G,则A′G的长是.
题目详情
如图,已知正方形纸片ABCD的边长为4,⊙O的半径为1,圆心在正方形的中心上,将纸片按图示方式折叠,使E A′恰好与⊙O相切于点A′,延长F A′交CD边于点G,则A′G的长是______.
▼优质解答
答案和解析
如图,作FS⊥CD于点S点,
由翻折可知:△AFE≌△FA′E,
∴FA=FA′,
∵四边形ADSF是矩形,
∴AF=SD,AD=FS,
又正方形是以O为对称中心的中心对称图形,
∴AF=CG,FO=OG=
FG,
设AF=A′F=DS=CG=x,
则GS=4-2x,FO=FA′+OA′=1+x,FG=2(1+x);
在Rt△FSG中,根据勾股定理得FG2=GS2+FS2,
即[2(1+x)]2=(4-2x)2+42,
解得x=
,
∴A′G=FG-FA′=2(1+x)-x=
.
故答案为:
由翻折可知:△AFE≌△FA′E,
∴FA=FA′,
∵四边形ADSF是矩形,
∴AF=SD,AD=FS,
又正方形是以O为对称中心的中心对称图形,
∴AF=CG,FO=OG=
1 |
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设AF=A′F=DS=CG=x,
则GS=4-2x,FO=FA′+OA′=1+x,FG=2(1+x);
在Rt△FSG中,根据勾股定理得FG2=GS2+FS2,
即[2(1+x)]2=(4-2x)2+42,
解得x=
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∴A′G=FG-FA′=2(1+x)-x=
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故答案为:
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