设平面上不在一条直线上的三个点为O、A、B，证明当实数p,q满足1/p+1/q=1时，连结pOA,qOB两个向量终点的直线通过一个定点。

Question

设平面上不在一条直线上的三个点为O、A、B，证明当实数p,q满足1/p+1/q=1时，连结pOA,qOB两个向量终点的直线通过一个定点。

Answer 1

设向量OA+OB=OC,则C为定点.
设M是连接pOA 、qOB两个向量终点的直线上的动点,则
向量OM-pOA=t(qOB-pOA),其中t是参数.
∵1/p+1/q=1,∴q=p/(p-1),
∴OM=pOA+t[p/(p-1)*OB-pOA]
=pOA+tp/(p-1)*[OB+OA-pOA],
当t=(p-1)/p时,OM=OA+OB=OC,
∴上述直线过定点C.