已知圆C:x^2+y^2=9,点A(-5,0),直线l:x-2y=0.在直线OA上(O为坐标原点),存在定点B(不同于点A),满足：对于圆C上任意一点p,都有PB/PA为一常数,求点B坐标（全面解答啊,

Question

已知圆C:x^2+y^2=9,点A(-5,0),直线l:x-2y=0.在直线OA上(O为坐标原点),存在定点B(不同于点A),满足：对于圆C
上任意一点p,都有PB/PA为一常数,求点B坐标（全面解答啊,

Answer 1

分析：（1）先求与直线l垂直的直线的斜率,可得其方程,利用相切求出结果．
（2）先设存在,利用都有PB/PA 为一常数这一条件,以及P在圆上,列出关系,利用恒成立,可以求得结果．（1）设所求直线方程为y=-2x+b,即2x+y-b=0,∵直线与圆相切,
∴l -b l / √(2^2+1^2)=3 ,得 b=±3√5,
∴所求直线方程为y=2x±3√5 ,
假设存在这样的点B（t,0）,
当P为圆C与x轴左交点（-3,0）时,PB/PA =l t+3 l /2 ；
当P为圆C与x轴右交点（3,0）时,PB/PA =l t-3 l /8 ,
依题意,l t+3 l /2=l t-3 l /8 ,解得,t=-5（舍去）,或t=-9/5 ．
下面证明点B(-9/5,0) 对于圆C上任一点P,都有PB/PA为一常数．
设P（x,y）,则y^2=9-x^2,
∴ PB^2/PA^2=[(x+9/5)^2+y^2]/[(x+5)^2+y^2]=(x^2+18/5x+81/25+9-x^2)/(x^2+10x+25+9-^x2)=18/25(5x+17)/[2(5x+17)]=9/25,
从而PB/PA=3/5 为常数．