已知抛物线y＝14x2，定点F的坐标为（0，1），定直线l的方程为：y=-1；（1）当动点P在该抛物线上运动时，求证：P到定直线l的距离PP′等于P到定点F的距离．（2）若过定点F任作一条直线，与

Question

已知抛物线y＝(1)/(4)x2，定点F的坐标为（0，1），定直线l的方程为：y=-1；
（1）当动点P在该抛物线上运动时，求证：P到定直线l的距离PP′等于P到定点F的距离．
（2）若过定点F任作一条直线，与抛物线交于M、N两点，再以线段MN的长为直径作一个圆C，试判断圆C与定直线l的位置关系，并说明理由．
（3）在（2）的条件下，你能否在定直线l上找到一点Q，使得QF恰好平分∠MQN？若能，求出点坐标；否则，说明理由．

Answer 1

（1）证明：∵点P在抛物线y=(1)/(4)x²上，
∴设点P（x，(1)/(4)x²），
则PF=√(x2+((1)/(4)x2−1)2)=√((1)/(16)x4+(1)/(2)x2+1)=(1)/(4)x²+1，
∵定直线l的方程为：y=-1，
∴点P到直线l的距离PP′=(1)/(4)x²-（-1）=(1)/(4)x²+1，
∴P到定直线l的距离PP′等于P到定点F的距离；

（2）圆C与定直线l的位置关系是相切．理由如下：
如图，过M、N、C分别作直线l的垂线，垂足分别为E、G、H，
则CH是梯形MEGN的中位线，
∵ME=MF，NG=NF，
∴CH=(1)/(2)（ME+NG）=(1)/(2)（MF+NF）=(1)/(2)MN，
即圆心C到定直线l的距离等于⊙C的半径，
∴圆C与定直线l的位置关系是相切；


（3）存在点Q（0，-1），使得QF恰好平分∠MQN．
理由如下：∵QF平分∠MQN，
∴(MF)/(NF)=(MQ)/(NQ)，
∵ME=MF，NG=NF，
∴(ME)/(NG)=(MQ)/(NQ)，
∴Rt△MEQ∽Rt△NGQ，
∴∠MQE=∠NQG，
又∵QF平分∠MQN，
∴∠MQF=∠NQF，
∵∠MQE+∠MQF+∠NQF+∠NQG=180°，
∴∠MQE+∠MQF=(1)/(2)×180°=90°，
∴∠EQF=90°，
∴点Q在y轴上，
即点Q为定直线l：y=-1与y轴的交点，
∴点Q的坐标为（0，-1）．