过抛物线y=2px的O顶点任作两条互相垂直的弦OA、OB连直线AB，求证：直线AB恒过定点（2p，0）．（使用抛物线的参数方程证明）

Question

过抛物线y=2px的O顶点任作两条互相垂直的弦OA、OB连直线AB，求证：直线AB恒过定点（2p，0）．（使用抛物线的参数方程证明）

Answer 1

证明：设A(2p

t

2 1

，2pt1)，B(2p

t

2 2

，2pt2)．
由OA⊥OB，得(2pt1)/(2pt21)•(2pt2)/(2pt22)＝−1，得出t₁t₂=-1．
∴kAB＝(1)/(t1+t2)．
得直线AB的方程：y−2pt1＝(1)/(t1+t2)(x−2p

t

2 1

)．
即x-（t₁+t₂）y-2p=0．
令y=0，解得x=2p．
∴直线AB恒过定点（2p，0）．