（2014•浙江模拟）已知动圆过定点A（0，2），且在x轴上截得的弦长为4．（1）求动圆圆心的轨迹C的方程；（2）点P为轨迹C上任意一点，直线l为轨迹C上在点P处的切线，直线l交直线：y=-1于点

Question

（2014•浙江模拟）已知动圆过定点A（0，2），且在x轴上截得的弦长为4．
（1）求动圆圆心的轨迹C的方程；
（2）点P为轨迹C上任意一点，直线l为轨迹C上在点P处的切线，直线l交直线：y=-1于点R，过点P作PQ⊥l交轨迹C于点Q，求△PQR的面积的最小值．

Answer 1

（1）设C（x，y），
由动圆过定点A（0，2），且在x轴上截得的弦长为4得，|CA|²-y²=4，
即x²+（y-2）²-y²=4，整理得：x²=4y．
∴动圆圆心的轨迹C的方程为x²=4y；
（2）C的方程为x²=4y，即y＝(1)/(4)x2，故y′＝(1)/(2)x，设P(t，(t2)/(4))，
PR所在的直线方程为y−(t2)/(4)＝(t)/(2)(x−t)，即y＝(t)/(2)x−(t2)/(4)，
则点R的横坐标xR＝(t2−4)/(2t)，|PR|＝√(1+(t2)/(4))|xR−t|=(√(4+t2)(t2+4))/(4|t|)；                
PQ所在的直线方程为y−(t2)/(4)＝−(2)/(t)(x−t)，即y＝−(2)/(t)x+2+(t2)/(4)，
由

作业帮用户 2017-11-07

问题解析

（1）设出动圆圆心C的坐标，由圆的半径、弦心距及半弦长的关系列式整理求得动圆圆心的轨迹C的方程；
（2）化（1）中的抛物线方程为函数式，设出P点坐标，求出函数导函数，得到切线PR的方程，代入y=-1求得点R的横坐标，求出PQ所在直线方程，和抛物线联立化为关于x的一元二次方程，由根与系数关系求得Q点横坐标，求出线段PQ和PR的长度，由三角形面积公式得到面积关于P点横坐标的函数，利用换元法及基本不等式求最值．

名师点评

本题考点：

轨迹方程．

考点点评：

本题考查了轨迹方程，考查直线与圆锥曲线的位置关系，涉及直线与圆锥曲线的关系问题，常把直线方程和圆锥曲线方程联立，利用根与系数的关系解题，是高考试卷中的压轴题．

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