（2011•宜宾）已知抛物线的顶点是C（0，a）（a＞0，a为常数），并经过点（2a，2a），点D（0，2a）为一定点．（1）求含有常数a的抛物线的解析式；（2）设点P是抛物线上任意一点，过P作PH丄

Question

（2011•宜宾）已知抛物线的顶点是C（0，a）（a＞0，a为常数），并经过点（2a，2a），点D（0，2a）为一定点．
（1）求含有常数a的抛物线的解析式；
（2）设点P是抛物线上任意一点，过P作PH丄x轴．垂足是H，求证：PD=PH；
（3）设过原点O的直线l与抛物线在笫一象限相交于A、B两点，若DA=2DB．且S_△ABD=4√(2)．求a的值．

Answer 1

（1）设抛物线的解析式为y=kx²+a，
∵经过点（2a，2a），
4a²k+a=2a，
∴k=(1)/(4a)，
则抛物线的解析式为：y=(1)/(4a)x²+a；

（2）连接PD，设抛物线上一点P（x，y），过P作PH⊥x轴，PG⊥y轴，
在Rt△GDP中，由勾股定理得：PD²=DG²+PG²=（y-2a）²+x²=y²-4ay+4a²+x²，
∵y=(1)/(4a)x²+a，
∴x²=4a×（y-a）=4ay-4a²，
∴PD²=y²-4ay+4a²+4ay-4a²=y²=PH²，
∴PD=PH，

（3）过B作BE⊥x，AF⊥x，
由（2）的结论：BE=DB，AF=DA，
∵DA=2DB，
∴AF=2BE，
∴AO=2OB，
∴B是OA的中点，
∵C是OD的中点，
连接BC，∴BC=(AD)/(2)=(AF)/(2)=BE=DB，
过B作BR⊥y，
∵BR⊥CD，
∴CR=DR，OR=a+(a)/(2)=(3a)/(2)，
∴(3a)/(2)=(1)/(4a)x²+a，
∴x²=2a²，
∵x＞0，
∴x=√(2)a，
∴B（√(2)a，(3a)/(2)），AO=2OB，
∴S_△OBD=S_△ABD=4√(2)，
∴(1)/(2)×2a×√(2)a=4

作业帮用户 2017-10-18

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