定长为d(d>=2b^2/a)的线段的两个端点分别在椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1上移动,求AB的中点M到椭圆的最短距离a>b>0

Question

定长为d(d>=2b^2/a)的线段的两个端点分别在椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1上移动,求AB的中点M到椭圆的最短距离
a>b>0

Answer 1

首先要注意到2b^2/a是椭圆的通径的长度,而且须满足d<=2a.
我门知道过原点的直线截得线段最短为2b,最长为2a,而且变化是连续的.
我们可以得到,当2b<=d<=2a时,最短距离l=0
当2b^2/a(Y2-Y1)^2+(X1-X2)^2=d^2 ------(1)
[(Y2+Y1)/2]^2+[(X1+X2)/2]^2=l^2
=>(Y2+Y1)^2+(X1+X2)^2=4l^2 ------(2)
X1^2/a^2+Y1^2/b^2=1 ------(3)
X2^2/a^2+Y2^2/b^2=1 ------(4)
(1)+(2)得 2(X1^2+X2^2)+2(Y1^2+Y2^2)=d^2+4l^2
(3)+(4)得 (X1^2+X2^2)/a^2+(Y1^2+Y2^2)/b^2=2
=>
令p=X1^2+X2^2,则Y1^2+Y2^2=2b^2-p*b^2/a^2
得 2p+2(2b^2-p*b^2/a^2)=d^2+4l^2
化简得 p(c^2/a^2)+2b^2=d^2+4l^2
然后算出p的取值范围就行了,下面你就自己算了.