如图，在平面直角坐标系中，一条定长为m的线段其端点A、B分别在x轴、y轴上滑动，设点M满足AM＝λMB（λ是大于0的常数）．（Ⅰ）求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；（Ⅱ）若λ=2，

Question

如图，在平面直角坐标系中，一条定长为m的线段其端点A、B分别在x轴、y轴上滑动，设点M满足

AM

＝λ

MB

（λ是大于0的常数）．
（Ⅰ）求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；
（Ⅱ）若λ=2，已知直线l与原点O的距离为(m)/(2)，且直线l与动点M的轨迹有公共点，求直线l的斜率k的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）设点M坐标为（x，y），点A坐标为（a，0），点B坐标为（0，b）
则，

AM

=（x-a，y），

MB

=（-x，b-y），
∵

AM

＝λ

MB

，∴（x-a，y）=λ（-x，b-y），
∴x-a=-λx，y=λ（b-y）
∴a=λx+x，b=(λy+y)/(λ)
∵线段AB长为m，∴a²+b²=m²
∴(λx+x)2+((λy+y)/(λ))2＝m2
化简，得，(λ+1)2x2+(1+(1)/(λ))2y2＝m2
当λ=1时，点M的轨迹是圆心在坐标原点，半径为(√(2)m)/(2)的圆，
当λ≠1时，点M的轨迹是椭圆．
（Ⅱ）当λ=2时，点M的方程可化为x2+(y2)/(4)＝(m2)/(9)
当直线l斜率存在时，设直线l方程为y=kx+b，
∵线l与原点O的距离为(m)/(2)，∴(|b|)/(<作业帮用户2017-10-08问题解析（Ⅰ）利用消参法求轨迹方程，先设出M点的坐标，根据已知AM＝λMB，转化为含参数的方程，再消掉参数，即可得到点M的轨迹方程，再根据方程中参数λ的范围，判断是什么曲线．（Ⅱ）设出直线l的方程，利用直线l与原点O的距离为(m)/(2)，求出方程中k，b的关系，再根据直线l与动点M的轨迹有公共点，即可求出k的范围．名师点评本题考点：直线与圆锥曲线的综合问题．考点点评：本题主要考查了消参法求轨迹方程，以及直线与椭圆位置关系的判断．扫描下载二维码©2019 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议)