已知a∈R,函数f(x)=ae^x是定义在R上的单调递增函数,且曲线y=f(x)与坐标轴的交点为A,曲线g(x)=ln(x/a)(x>0)与坐标轴的交点为B,|AB|为分别在两条曲线上的点连成线段长的最小值.(Ⅰ)求a的值（Ⅱ）试

Question

已知a∈R,函数f(x)=ae^x是定义在R上的单调递增函数,且曲线y=f(x)与坐标轴的交点为A,曲线g(x)=ln(x/a) (x>0)与坐标轴的交点为B,|AB|为分别在两条曲线上的点连成线段长的最小值.
(Ⅰ)求a的值
（Ⅱ）试求不等式(x-m)/g(x)≥√x恒成立时实数m的取值范围

Answer 1

(I)e^x是单调递增函数,因此只要a>0,f(x)就是单调递增函数；
f(x)只与y轴相交,交点A:x=0,y=a；
g(x)=ln(x/a),只与x轴相交,交点B:x=a,g(x)=0;
OAB是等边直角三角形,|AB|=a√2；
点到曲线的距离,与点到直线的距离意义一样,由该点项曲线作“垂线”,点与垂足的连线就是点到该曲线的距离,这个距离在垂足附近最短.这个“垂线”指的是,距离线与垂足处曲线的切线相互垂直.
|AB|是f(x),g(x)上最短距离,意味着,f(x)在A点的切线,g(x)在B点的切线都垂直于AB,AB斜率kAB=(0-a)/(a-0)=-1,切线斜率k=1
f'(x)=ae^x,f'(x)=a=1,
g'(x)=a/x*(1/a)=1/x
g'(a)=1/a=1
a=1
(II)a=1,不等式成为：(x-m)/lnx≥√x,x>0;√x>0;
x=1时,lnx=0,不等式左边无定义,因此以此点分界,分别讨论：
00,
x->0时,z->-m0即可.
因此：m≥1；
x>1时,lnx>0,x-m≥√xlnx>0,x-m>0,m1,恒成立,因此m≤1.
设z=（x-m)-√xlnx≥0；
z'=1-ln[1/(√x)^(√x)]-1/√x
x>1,√x>1,0