如图所示，长为L=1m的AB斜面倾角为θ=37°，将一劲度系数为k=60N/m的轻质弹簧的上端固定在AB上端的固定板上，弹簧的原长为x0=0.2m，平行于斜面的细线穿过固定板和弹簧跨过定滑轮将小滑块和

Question

如图所示，长为L=1m的AB斜面倾角为θ=37°，将一劲度系数为k=60N/m的轻质弹簧的上端固定在AB上端的固定板上，弹簧的原长为x₀=0.2m，平行于斜面的细线穿过固定板和弹簧跨过定滑轮将小滑块和铁球连接，小滑块与弹簧接触但不相连，不计绳子与固定板及滑轮间的摩擦，小滑块质量为m=1kg，铁球质量为M=1.2kg，滑块与AB轨道的动摩擦因数为μ=(3)/(8)（设最大静摩擦力等于滑动摩擦力），斜面底端与一段半径为R=0.5m的光滑圆弧BCD在B点相切连接，圆弧的D点切线衔接另一个光滑斜面（足够长），（g=10m/s²，sin37°=0.6）．则：
（1）初始时刻能使滑块保持静止，求弹簧压缩量x的范围；
（2）若初始时刻弹簧压缩时的弹性势能EP=0.075J，且初始时刻滑块刚好不上滑，断开滑块与绳子的连接，求以后的运动过程中滑块与斜面因摩擦而生成的热量Q．
（3）在第二问中滑块经过C点时求小滑块对C点压力的最小值？

Answer 1

（1）当滑块刚要上滑时，摩擦力达到最大静摩擦力，受力平衡，则有：
T=Kx₁+μmg•cosθ+mg•sinθ，
T=Mg，
解得：x₁=0.05m
当滑块刚要下滑时：T+μmg•cosθ=Kx₂+mg•sinθ，
T=Mg，
解得：x₂=0.15m
要使滑块静止弹簧的压缩量的范围是0.05m≤x≤0.15m，
（2）初始时刻弹簧压缩时的弹性势能E_P=0.075 J，滑块释放后在两斜面及圆弧间往复运动，因摩擦生热消耗能量，每次上升到AB面的高度逐渐降低，最终在BD间往复运动，而到B点时速度为零，因滑块刚好不上滑时：T=Kx₁+μmg•cosθ+mg•sinθ，T=Mg，所以x₁=0.05mE_P+mg（L-x₀+x₁）sinθ=Q，所以Q=5.175J
（3）根据能量守恒：对C点产生最小压力时为经过C点时速度最小的时候，即最终滑块在BD间往复运动经过C点时．设滑块在C点收到的支持力为N，mgR(1-cosθ)=(1)/(2)mvc2
N-mg=m(v2)/(R)，
解得：N=14N
根据牛顿第三定律：C点收到的压力为14N
答：（1）初始时刻能使滑块保持静止，弹簧压缩量x的范围为0.05m≤x≤0.15m；
（2）以后的运动过程中滑块与斜面因摩擦而生成的热量Q为5.175J．
（3）在第二问中滑块经过C点时求小滑块对C点压力的最小值为14N．