儿童智力拼装玩具“云霄飞车”的部分轨道简化为如图模型：光滑水平轨道MN与半径为R的竖直光滑圆弧轨道相切于N点，质量为m的小球A静止于P点，小球半径远小于R．与A相同的小球B以速度v0

Question

儿童智力拼装玩具“云霄飞车”的部分轨道简化为如图模型：光滑水平轨道MN与半径为R的竖直光滑圆弧轨道相切于N点，质量为m的小球A静止于P点，小球半径远小于R．与A相同的小球B以速度v₀向右运动，A、B碰后粘连在一起．求当v₀的大小在什么范围时，两小球在圆弧轨道内运动时不会脱离圆弧轨道？已知重力加速度为g．

Answer 1

设A、B碰撞后的速度为v₁，恰好运动到圆弧最高点时的速度为v₂
对A、B，碰撞过程中动量守恒，选取向右为正方向，由动量守恒定律得：mv₀=2m•v₁
欲使A、B运动时不脱离圆弧轨道，有两种可能：
（1）当v₀较小时，A、B最高只能运动到与圆心等高的地方
对A、B，从碰后到与圆心等高的地方，由动能定理有：-2mgR=0-(1)/(2)•2m

v

2 1

联立得v₀=2√(2gR)
（2）当v₀较大时，A、B能够做完整的圆周运动．讨论A、B恰好做完整圆周运动时的情形，对A、B，从碰后运动到圆周最高点的过程中，由动能定理：
-2mg•2R=(1)/(2)•2m

v

2 2

-(1)/(2)•2m

v

2 1

在最高点时，由牛顿第二定律得：2mg=2m•(v22)/(R)
联立得：v₀=2√(5gR)
综上所述，当v0≤2√(2gR)或v0≥2√(5gR)时，两小球在圆弧轨道内运动时不会脱离圆弧轨道．   
答：当v0≤2√(2gR)或v0≥2√(5gR)时，两小球在圆弧轨道内运动时不会脱离圆弧轨道．