某高速公路的一个出口路段如图所示，情景简化：轿车从出口A进入匝道，先匀减速直线通过下坡路段至B点（通过B点前后速率不变），再匀速率通过水平圆弧路段至C点，最后从C点沿平直路

Question

某高速公路的一个出口路段如图所示，情景简化：轿车从出口A进入匝道，先匀减速直线通过下坡路段至B点（通过B点前后速率不变），再匀速率通过水平圆弧路段至C点，最后从C点沿平直路段匀减速到收费站D点停下．已知轿车在A点的速度v₀=72km/h，AB长L₁=75m；BC段为半径R=20m的四分之一水平圆弧段，轮胎与BC段路面间的动摩擦因数μ=0.5，最大静摩擦力可认为等于滑动摩擦力，CD段为平直路段长L₂=50m，重力加速度g取l0m/s²．求：

（1）为保证行车安全，车轮不打滑，水平圆弧段BC限速（允许通过的最大速度）是多少；
（2）若保证轿车到能安全通过圆弧段BC，轿车在AB下坡段的最小加速度；
（3）轿车从出口A点到收费站D全程的最短时间．

Answer 1

（1）汽车在BC段做圆周运动，恰好速度最大时，最大静摩擦力提供向心力，有：
μmg=(mv2)/(R)
代入数据解得：v=10m/s　　　
（2）v₀=72km/h=20m/s，AB长L₁=l50m，v=36km/h=10m/s，对AB段匀减速直线运动有：
v^2-

v

2 0

=-2aL₁   
 代入数据解得：a=1m/s²     
（3）设AB段时间为t₁，BC段时间为t₂，CD段时间为t₃，全程所用最短时间为t．
L₁=(v0+v)/(2)t1      
(1)/(2)πR=vt₂
L₂=(v)/(2)t3
t=t₁+t₂+t₃        
解得：t=23.14 s  
答：（1）为保证行车安全，车轮不打滑，水平圆弧段BC限速（允许通过的最大速度）是10m/s；
（2）若保证轿车到能安全通过圆弧段BC，轿车在AB下坡段的最小加速度是1m/s²；
（3）轿车从出口A点到收费站D全程的最短时间是23.14s．