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如图,⊙O的直径AB=4,C为圆周上一点,AC=2,过点C作⊙O的切线DC,P点为优弧CBA上一动点(不与A、C重合).(1)求∠APC与∠ACD的度数;(2)当点P移动到CB弧的中点时,求证:四边形OBPC是菱
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如图,⊙O的直径AB=4,C为圆周上一点,AC=2,过点C作⊙O的切线DC,P点为优弧
上一动点(不与A、C重合).
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/6a600c338744ebf86f64828edaf9d72a6059a76e.jpg)
(1)求∠APC与∠ACD的度数;
(2)当点P移动到CB弧的中点时,求证:四边形OBPC是菱形.
(3)P点移动到什么位置时,△APC与△ABC全等,请说明理由.
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CBA |
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/6a600c338744ebf86f64828edaf9d72a6059a76e.jpg)
(1)求∠APC与∠ACD的度数;
(2)当点P移动到CB弧的中点时,求证:四边形OBPC是菱形.
(3)P点移动到什么位置时,△APC与△ABC全等,请说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(1)连接AC,如图所示:
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/d8f9d72a6059252daf02fbb5379b033b5bb5b96e.jpg)
∵AC=2,OA=OB=OC=
AB=2,
∴AC=OA=OC,
∴△ACO为等边三角形,
∴∠AOC=∠ACO=∠OAC=60°,
∴∠APC=
∠AOC=30°,
又DC与圆O相切于点C,
∴OC⊥DC,
∴∠DCO=90°,
∴∠ACD=∠DCO-∠ACO=90°-60°=30°;…(4分)
(2)连接PB,OP,
∵AB为直径,∠AOC=60°,
∴∠COB=120°,
当点P移动到CB的中点时,∠COP=∠POB=60°,
∴△COP和△BOP都为等边三角形,
∴OC=CP=OB=PB,
则四边形OBPC为菱形;…(8分)
(3)当点P与B重合时,△ABC与△APC重合,显然△ABC≌△APC;
当点P继续运动到CP经过圆心时,△ABC≌△CPA,理由为:
∵CP与AB都为圆O的直径,
∴∠CAP=∠ACB=90°,
在Rt△ABC与Rt△CPA中,
,
∴Rt△ABC≌Rt△CPA(HL).
综上所述当点P与点B重合或CP经过圆心时,△APC与△ABC全等
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/d8f9d72a6059252daf02fbb5379b033b5bb5b96e.jpg)
∵AC=2,OA=OB=OC=
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2 |
∴AC=OA=OC,
∴△ACO为等边三角形,
∴∠AOC=∠ACO=∠OAC=60°,
∴∠APC=
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2 |
又DC与圆O相切于点C,
∴OC⊥DC,
∴∠DCO=90°,
∴∠ACD=∠DCO-∠ACO=90°-60°=30°;…(4分)
(2)连接PB,OP,
∵AB为直径,∠AOC=60°,
∴∠COB=120°,
当点P移动到CB的中点时,∠COP=∠POB=60°,
∴△COP和△BOP都为等边三角形,
∴OC=CP=OB=PB,
则四边形OBPC为菱形;…(8分)
(3)当点P与B重合时,△ABC与△APC重合,显然△ABC≌△APC;
当点P继续运动到CP经过圆心时,△ABC≌△CPA,理由为:
∵CP与AB都为圆O的直径,
∴∠CAP=∠ACB=90°,
在Rt△ABC与Rt△CPA中,
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∴Rt△ABC≌Rt△CPA(HL).
综上所述当点P与点B重合或CP经过圆心时,△APC与△ABC全等
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