如图，已知AB是O的直径，AC是O的弦，过点C作O的切线交BA的延长线于点P，连接BC．（1）求证：∠PCA=∠B；（2）已知∠P=40°，AB=12cm，点Q在优弧ABC上，从点A开始逆时针运动到点C停止（点Q与

Question

如图，已知AB是 O的直径，AC是 O的弦，过点C作 O的切线交BA的延长线于点P，连接BC．

（1）求证：∠PCA=∠B；
（2）已知∠P=40°，AB=12cm，点Q在优弧ABC上，从点A开始逆时针运动到点C停止（点Q与点C不重合），当△ABQ与△ABC的面积相等时，求动点Q所经过的弧长．

Answer 1

（1）如图1：连接OC，
∵PC是 O的切线，
∴∠PCO=90°，
∴∠1+∠PCA=90°，
∵AB是 O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠2+∠B=90°，
∵OC=OA，
∴∠1=∠2，
∴∠PCA=∠B；

（2）∵∠P=40°，
∴∠AOC=50°，
∵AB=12，
∴AO=6，
当∠AOQ=∠AOC=50°时，△ABQ与△ABC的面积相等，
∴点Q所经过的弧长=(50π×6)/(180)=(5π)/(3)，
当∠BOQ=∠AOC=50°时，即∠AOQ=130°时，△ABQ与△ABC的面积相等，
∴点Q所经过的弧长=(130π•6)/(180)=(13π)/(3)，
当∠BOQ=50°时，即∠AOQ=230°时，△ABQ与△ABC的面积相等，
∴点Q所经过的弧长=(230π•6)/(180)=(23π)/(3)，
∴当△ABQ与△ABC的面积相等时，动点Q所经过的弧长为(5π)/(3)或(13π)/(3)或(23π)/(3)；