如图，在半径是2的⊙O中，点Q为优弧MN的中点，圆心角∠MON=60°，在NQ上有一动点P，且点P到弦MN的距离为x．（1）求弦MN的长；（2）试求阴影部分面积y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值

Question

如图，在半径是2的⊙O中，点Q为优弧MN的中点，圆心角∠MON=60°，在NQ上有一动点P，且点P到弦MN的距离为x．
（1）求弦MN的长；
（2）试求阴影部分面积y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）试分析比较，当自变量x为何值时，阴影部分面积y与S_扇形OMN的大小关系．

Answer 1

（1）∵OM=ON，∠MON=60°，
∴△MON是等边三角形，
∴MN=OM=ON=2；

（2）由三角形面积公式可得y=S_△PMN=(1)/(2)×2x；
即：y=x（0≤x≤2+√(3)）．

（3）令y=S_扇形OMN，即x=(2)/(3)π；
∴x=(2)/(3)π，
当x=(2)/(3)π时，y=S_扇形OMN；
当0≤x＜(2)/(3)π时，y＜S_扇形OMN；
当(2)/(3)π＜x≤2+√(3)，y＞S_扇形OMN．
注：过O作OP′∥MN交⊙O上一点P′，依等积关系得：x=(2)/(3)π，即可下结论．