如图，在平面直角坐标系中，⊙D与坐标轴分别相交于A（-3，0），B（3，0），C（0，3）三点．（1）求⊙D的半径；（2）E为优弧AB一动点（不与A，B，C三点重合），EN⊥x轴于点N，M为半径DE的中

Question

如图，在平面直角坐标系中，⊙D与坐标轴分别相交于A（-√(3)，0），B（√(3)，0），C（0，3）三点．

（1）求⊙D的半径；
（2）E为优弧AB一动点（不与A，B，C三点重合），EN⊥x轴于点N，M为半径DE的中点，连接MN，求证：∠DMN=3∠MNE；
（3）在（2）的条件下，当∠DMN=45°时，求E点的坐标．

Answer 1

（1）由于OA=OB=√(3)，且OD⊥AB，根据垂径定理知圆心D必在y轴上；
连接AD，设⊙D的半径为R，则AD=R，OD=3-R；
Rt△ADO中，根据垂径定理得：
AD²=AO²+OD²，即R²=3+（3-R）²，解得R=2；
即⊙D的半径为2；
（2）证明：过D作DH⊥EN于H，连接MH；
易知四边形DHNO是矩形，则HN=OD=1；
Rt△DHE中，MH是斜边DE的中线，
∴DM=ME=MH=(1)/(2)DE=1；
∴△MEH、△MHN是等腰三角形，即∠MEH=∠MHE=2∠MNE；
∵∠DMN=∠E+∠MNE，故∠DMN=3∠MNE；
（3）∵∠DMN=45°，
∴∠MNE=15°，∠E=30°；
Rt△DHE中，DE=2，∠E=30°；
∴DH=1，EH=√(3)；
∴EN=EH+HN=√(3)+1；
故E（1，√(3)+1），
根据轴对称性可知，点E在第二象限的对称点（-1，√(3)+1）也可以．
故点E的坐标为：（1，√(3)+1）或（-1，√(3)+1）．