如图，O是△ABC的外接圆，AC是直径，过点O作OD⊥AB于点D，延长DO交O于点P，过点P作PE⊥AC于点E，作射线DE交BC的延长线于F点，连接PF．（1）若∠POC=60°，AC=12，求劣弧PC的长；（结果保留π）

Question

如图， O是△ABC的外接圆，AC是直径，过点O作OD⊥AB于点D，延长DO交 O于点P，过点P作PE⊥AC于点E，作射线DE交BC的延长线于F点，连接PF．

（1）若∠POC=60°，AC=12，求劣弧PC的长；（结果保留π）
（2）求证：OD=OE；
（3）求证：PF是 O的切线．

Answer 1

（1） ∵AC=12，
∴CO=6，
∴

PC

=(60•π•6)/(180)=2π；
答：劣弧PC的长为：2π．

（2）证明：∵PE⊥AC，OD⊥AB，
∠PEA=90°，∠ADO=90°
在△ADO和△PEO中，

∠ADO=∠PEO

∠AOD=∠POE

OA=OP

，
∴△POE≌△AOD（AAS），
∴OD=EO；

（3）证明：
法一：
如图，连接AP，PC，
∵OA=OP，
∴∠OAP=∠OPA，
由（2）得OD=EO，
∴∠ODE=∠OED，
又∵∠AOP=∠EOD，
∴∠OPA=∠ODE，
∴AP∥DF，
∵AC是直径，
∴∠APC=90°，
∴∠PQE=90°
∴PC⊥EF，
又∵DP∥BF，
∴∠ODE=∠EFC，
∵∠OED=∠CEF，
∴∠CEF=∠EFC，
∴CE=CF，
∴PC为EF的中垂线，
∴∠EPQ=∠QPF，
∵△CEP∽△CAP
∴∠EPQ=∠EAP，
∴∠QPF=∠EAP，
∴∠QPF=∠OPA，
∵∠OPA+∠OPC=90°，
∴∠QPF+∠OPC=90°，
∴OP⊥PF，
∴PF是 O的切线．
法二：
设 O的半径为r．
∵OD⊥AB，∠ABC=90°，
∴OD∥BF，∴△ODE≌△CFC
又∵OD=OE，∴FC=EC=r-OE=r-OD=r-(1)/(2)BC
∴BF=BC+FC=r+(1)/(2)BC
∵PD=r+OD=r+(1)/(2)BC
∴PD=BF
又∵PD∥BF，且∠DBF=90°，
∴四边形DBFP是矩形
∴∠OPF=90°
OP⊥PF，
∴PF是 O的切线．