作正三角形的外接圆,点P为劣弧AB上的一点,连接PC交AB于D,求证：1/PA+1/PB=1/PD.有个提示：先证三角形ADP相似于三角形PBC~

Question

作正三角形的外接圆,点P为劣弧AB上的一点,连接PC交AB于D,求证：1/PA+1/PB=1/PD.有个提示：先证三角形ADP相似于三角形PBC~

Answer 1

三角形是正三角形,四点共圆
所以 角CPB=角CAB=60度=角ABC=角apc
角pab=角pcb
所以 三角形apd 相似于 三角形cpb
所以 PC/PB=PA/PD 1式
PC/PA=PB/PD 2式
在pc上取点k使得 pk=pb
则由于 角cpb=60度
所以 三角形cpb为正三角形 可得 BK=BP=PK
所以 角pkb=60度
角ckb=120度=角apb
又因为 角bck=角bap
由于 AAS,三角形CKB与APB全等
所以 CK=PA
所以 PC=PK+KC=PB+PA
上面 1式+2式得：
PC/PB+PC/PA=(PA+PB)/PD
因为 PA+PB=PC
所以 PC/PB+PC/PA=PC/PD
两边同除以PC得：
1/PA+1/PB=1/PD
得证