如图，已知正方形ABCD的边长为2，点E为AB的中点．以A为圆心，AE为半径，作弧交AD于点F．若P为劣弧EF上的动点，则PC•PD的最小值为．

Question

如图，已知正方形ABCD的边长为2，点E为AB的中点．以A为圆心，AE为半径，作弧交AD于点F．若P为劣弧

EF

上的动点，则

PC

•

PD

的最小值为___．

Answer 1

如图，以A为原点，边AB，AD所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系，则：
A（0，0），C（2，2），D（0，2），设P（cosθ，sinθ）；
∴

PC

•

PD

=(2-cosθ，2-sinθ)•（-cosθ，2-sinθ）
=（2-cosθ）（-cosθ）+（2-sinθ）²
=5-2（cosθ+2sinθ）=5-2√(5)sin（θ+φ），tanφ=(1)/(2)；
∴sin（θ+φ）=1时，

PC

•

PD

取最小值5-2√(5)．
故答案为：5-2√(5)．