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(2014•安顺)如图,已知AB是⊙O的直径,BC是⊙O的弦,弦ED⊥AB于点F,交BC于点G,过点C的直线与ED的延长线交于点P,PC=PG.(1)求证:PC是⊙O的切线;(2)当点C在劣弧AD上运动时,其他条
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(2014•安顺)如图,已知AB是⊙O的直径,BC是⊙O的弦,弦ED⊥AB于点F,交BC于点G,过点C的直线与ED的延长线交于点P,PC=PG.
(1)求证:PC是⊙O的切线;
(2)当点C在劣弧AD上运动时,其他条件不变,若BG2=BF•BO.求证:点G是BC的中点;
(3)在满足(2)的条件下,AB=10,ED=4
,求BG的长.
(1)求证:PC是⊙O的切线;
(2)当点C在劣弧AD上运动时,其他条件不变,若BG2=BF•BO.求证:点G是BC的中点;
(3)在满足(2)的条件下,AB=10,ED=4
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▼优质解答
答案和解析
(1)证明:连OC,如图,
∵ED⊥AB,
∴∠FBG+∠FGB=90°,
又∵PC=PG,
∴∠1=∠2,
而∠2=∠FGB,∠4=∠FBG,
∴∠1+∠4=90°,即OC⊥PC,
∴PC是⊙O的切线;
(2)证明:连OG,如图,
∵BG2=BF•BO,即BG:BO=BF:BG,
而∠FBG=∠GBO,
∴△BGO∽△BFG,
∴∠OGB=∠BFG=90°,
即OG⊥BG,
∴BG=CG,即点G是BC的中点;
(3)连OE,如图,
∵ED⊥AB,
∴FE=FD,
而AB=10,ED=4
,
∴EF=2
,OE=5,
在Rt△OEF中,OF=
=
=1,
∴BF=5-1=4,
∵BG2=BF•BO,
∴BG2=BF•BO=4×5,
∴BG=2
.
∵ED⊥AB,
∴∠FBG+∠FGB=90°,
又∵PC=PG,
∴∠1=∠2,
而∠2=∠FGB,∠4=∠FBG,
∴∠1+∠4=90°,即OC⊥PC,
∴PC是⊙O的切线;
(2)证明:连OG,如图,
∵BG2=BF•BO,即BG:BO=BF:BG,
而∠FBG=∠GBO,
∴△BGO∽△BFG,
∴∠OGB=∠BFG=90°,
即OG⊥BG,
∴BG=CG,即点G是BC的中点;
(3)连OE,如图,
∵ED⊥AB,
∴FE=FD,
而AB=10,ED=4
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∴EF=2
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在Rt△OEF中,OF=
OE2−EF2 |
52−(2
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∴BF=5-1=4,
∵BG2=BF•BO,
∴BG2=BF•BO=4×5,
∴BG=2
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