已知：如图，点D是⊙O的直径CA延长线上一点，点B在⊙O上，且OA=AB=AD．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）若点E是劣弧BC上一点，AE与BC相交于点F，且BE=8，tan∠BFA=52，求⊙O的半径长．

Question

已知：如图，点D是⊙O的直径CA延长线上一点，点B在⊙O上，且OA=AB=AD．
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）若点E是劣弧BC上一点，AE与BC相交于点F，且BE=8，tan∠BFA=(√(5))/(2)，求⊙O的半径长．

Answer 1

（1）如图：
连接OB，
∵OA=AB=OB，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠OAB=∠OBA=60°，
∵AD=AB，
∴∠ABD=∠D=(1)/(2)∠OAB=30°．
∴∠DBO=∠ABD+∠OBA=30°+60°=90°．
即OB⊥BD，
∴DB是⊙O的切线．

（2）∵AC是直径，点B在⊙O上，
∴∠ABC=90°，
∴△ABF为直角三角形，
在直角△ABF中，由tan∠BFA=(√(5))/(2)，设AB=√(5)a，则BF=2a，AF=3a，
∴cos∠BFA=(BF)/(AF)=(2a)/(3a)=(2)/(3)．
∵∠C=∠E，∠AFC=∠BFE，
∴△AFC∽△BFE，
∴(BE)/(AC)=(BF)/(AF)=(2)/(3)，
∵BE=8，
∴AC=12．
因此圆的半径为6．