某校内有一块以O为圆心,R(R为常数,单位为米)为半径的半圆形(如图)荒地,该校总务处计划对其开发利用,其中弓形BCDB区域(阴影部分)用于种植学校观赏植物,△OBD区域用于种植花
某校内有一块以O为圆心,R(R为常数,单位为米)为半径的半圆形(如图)荒地,该校总务处计划对其开发利用,其中弓形BCDB区域(阴影部分)用于种植学校观赏植物,△OBD区域用于种植花卉出售,其余区域用于种植草皮出售.已知种植学校观赏植物的成本是每平方米20元,种植花卉的利润是每平方米80元,种植草皮的利润是每平方米30元.
(1)设∠BOD=θ(单位:弧度),用θ表示弓形BCDB的面积S弓=f(θ);
(2)如果该校总务处邀请你规划这块土地,如何设计∠BOD的大小才能使总利润最大?并求出该最大值.
(参考公式:扇形面积公式S=R2θ=Rl,l表示扇形的弧长)
答案和解析
(1)S
扇=
R2θ,S△OBD=R2sinθ,
S弓=f(θ)=R2(θ−sinθ).
(2)设总利润为y元,种植草皮利润为y1元,种植花卉利润为y2,种植学校观赏植物成本为y3,
y1=30(πR2-R2θ),y2=R2sinθ•80,y3=R2(θ-sinθ)•20,
∴y=y1+y2-y3=30(πR2-R2θ)+R2sinθ•80-R2(θ-sinθ)•20
=5R2[3π-(5θ-10sinθ)],
设g(θ)=5θ-10sinθ θ∈(0,π).
∴g′(θ)=5-10cosθ
∴g′(θ)<0,cosθ>,g(θ)在θ∈(0,)上为减函数;
g′(θ)>0,cosθ<,g(θ)在θ∈(,π)上为增函数;
当θ=时,g(θ)取到最小值,
此时总利润最大:y=5R2[3π-(5θ-10sinθ)]=5R2(+5).
答:所以当园林公司把扇形的圆心角设计成时,总利润取最大值5R2(+5).
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