某校内有一块以O为圆心，R（R为常数，单位为米）为半径的半圆形（如图）荒地，该校总务处计划对其开发利用，其中弓形BCDB区域（阴影部分）用于种植学校观赏植物，△OBD区域用于种植花

Question

某校内有一块以O为圆心，R（R为常数，单位为米）为半径的半圆形（如图）荒地，该校总务处计划对其开发利用，其中弓形BCDB区域（阴影部分）用于种植学校观赏植物，△OBD区域用于种植花卉出售，其余区域用于种植草皮出售．已知种植学校观赏植物的成本是每平方米20元，种植花卉的利润是每平方米80元，种植草皮的利润是每平方米30元．
（1）设∠BOD=θ（单位：弧度），用θ表示弓形BCDB的面积S_弓=f（θ）；
（2）如果该校总务处邀请你规划这块土地，如何设计∠BOD的大小才能使总利润最大？并求出该最大值．
（参考公式：扇形面积公式S=(1)/(2)R²θ=(1)/(2)Rl，l表示扇形的弧长）

Answer 1

（1）S_扇=(1)/(2)R²θ，S_△OBD=(1)/(2)R²sinθ，
S_弓=f（θ）=(1)/(2)R2(θ−sinθ)．
（2）设总利润为y元，种植草皮利润为y₁元，种植花卉利润为y₂，种植学校观赏植物成本为y₃，
y₁=30（(1)/(2)πR²-(1)/(2)R²θ），y₂=(1)/(2)R²sinθ•80，y₃=(1)/(2)R²（θ-sinθ）•20，
∴y=y₁+y₂-y₃=30（(1)/(2)πR²-(1)/(2)R²θ）+(1)/(2)R²sinθ•80-(1)/(2)R²（θ-sinθ）•20
=5R²[3π-（5θ-10sinθ）]，
设g（θ）=5θ-10sinθ  θ∈（0，π）．
∴g′（θ）=5-10cosθ
∴g′（θ）＜0，cosθ＞(1)/(2)，g（θ）在θ∈（0，(π)/(3)）上为减函数；
g′（θ）＞0，cosθ＜(1)/(2)，g（θ）在θ∈（(π)/(3)，π）上为增函数；
当θ=(π)/(3)时，g（θ）取到最小值，
此时总利润最大：y=5R²[3π-（5θ-10sinθ）]=5R²（(4π)/(3)+5√(3)）．
答：所以当园林公司把扇形的圆心角设计成(π)/(3)时，总利润取最大值5R²（(4π)/(3)+5√(3)）．