半径分别为r1，r2的⊙O1和⊙O2相离，并且一条外公切线长度为t1，一条内公切线的长度为t2，则t12-t22=r1r2；如果一条外公切线与连心线所夹锐角为α，则sinα=|r1−r2|o1o2|r1−r2|o1o2；如果一条

Question

半径分别为r₁，r₂的⊙O₁和⊙O₂相离，并且一条外公切线长度为t₁，一条内公切线的长度为t₂，则t₁²-t₂²=______r₁r₂；如果一条外公切线与连心线所夹锐角为α，则sinα=

(|r1−r2|)/(o1o2)

(|r1−r2|)/(o1o2)

；如果一条内公切线与连心线所夹锐角为β，则sinβ=

(r1+r2)/(o1o2)

(r1+r2)/(o1o2)

．

Answer 1

如图，连接O₁A，O₁C，O₂B，O₂D，
作O₂E⊥O₁A于E，延长O₁E到F使CF=O₂D=r₂，连接O₂F，
则∠EO₂O₁=α，∠FO₂O₁=β
∴sinα=(|r1−r2|)/(o1o2)，sinβ=(r1+r2)/(o1o2)，
在Rt△EO₁O₂中，t₁²=O₁O₂²-（r₁-r₂）²①
在Rt△O₁FO₂中，t₂²=O₁O₂²-（r₁+r₂）²②
①-②得t₁²-t₂²=4r₁r₂，
故答案为4、(|r1−r2|)/(o1o2)、(r1+r2)/(o1o2)．