已知：抛物线y=a（x-1）2+9经过点的⊙P，且⊙P既与直线y=x相切又与x轴相离？若有，求出点P的坐标；若无，请说明理由．

Question

已知：抛物线y=a（x-1）²+9经过点的⊙P，且⊙P既与直线y=x相切又与x轴相离？若有，求出点P的坐标；若无，请说明理由．

Answer 1

代入y=a（x-1）²+9得：
，
∴，
答：a的值是-．

（2）答：点B是在抛物线上．
理由是：把代入y=a（x-1）²+9，得：
抛物线的解析式为：，顶点A（1，9），
作AB⊥直线y=x，垂足为B，依题意得：C（1，1），
∴△ODC是等腰直角三角形，，
∴∠OCD=∠ACB=45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
在Rt△ABC中，AC=9-1=8，，
∴，
作BT⊥x轴于点T，在Rt△OBT中，，
∴B（5，5），
把点B（5，5）代入，左边=5，右边=，
∴左边=右边，
∴B（5，5）在抛物线上．

（3）由（2）得△ABC是等腰直角三角形，，
又AB⊥直线y=x，即点A到直线y=x的距离为，
即点P与点A重合时，⊙P与直线y=x相切，
∵点P（1，9）到x轴的距离为9，，
∴⊙P与x轴相离，
故点P₁（1，9）符合题意，
①当⊙P在直线y=x的左上方时，
设过点A（1，9）且平行于直线y=x的直线l的解析式为：y=x+b，
∴9=1+b，
∴b=8，
∴直线l的解析式为：y=x+8，
∵直线l平行直线y=x，AB⊥直线l，，
∴直线l到直线y=x的距离为，
则点P可能在直线l上，故设符合条件的点P的坐标为（x，x+8），
把点P（x，x+8）代入，解得：x=1或x=-3，
∴P₁（1，9）或P₂（-3，5），
∵P₂（-3，5）到x轴的距离为5，，
∴⊙P₂与x轴相交，
∴点P₂不符合题意，舍去；
②当⊙P在直线y=x的右下方时，根据图形的对称性，同理可得：
距离为且平行于直线y=x的直线l'的解析式为：y=x-8，
∴点P可能在直线l'上，故设符合条件的点P的坐标为（x，x-8），
把点P（x，x-8）代入，解得：或，
∴或，
∵到x轴的距离为，
∴⊙P₃与x轴相交，故点P₃不合题意，舍去．
∵到x轴的距离为，
∴⊙P₄与x轴相离
综合上述：符合条件的点P共有2点，它们的坐标分别是（1，9）、．
答：设点P是该抛物线上的一个动点，存在半径为的⊙P，且⊙P既与直线y=x相切又与x轴相离，点P的坐标是（1，9），（-1-2，-9-2）．