过点（4,0）与椭圆(x平方/4)+(y平方/3)=1相切的方程是多少?切点是多少?

Question

过点（4,0）与椭圆(x平方/4)+(y平方/3)=1相切的方程是多少?切点是多少?

Answer 1

设过点（4,0）的直线方程为 y=k(x-4)
联立直线方程与椭圆方程可得：
x^2 /4 + [k(x-4)]^2 / 3 =1
化简得 (3+4k^2)x^2 - 32k^2 x + 64k^2 - 12 =0
如果直线与椭圆相切,则上面的方程只有一个实数根
所以Δ=0 则 1024 k^4 -4 (3+4k^2)(64k^2-12)=0
36k^2-9=0
k=± 1/2
与椭圆相切的直线方程为 y=±1/2（x-4)
把k=±1/2 代入 (3+4k^2)x^2 - 32k^2 x + 64k^2 - 12 =0
4x^2 - 8x +4 =0
(x-1)^2=0
x=1
把x=1 代入直线方程,得 y= ± 3/2
切点坐标为 （1,3/2) 和 （1,- 3/2)