如图,AB是⊙O的直径,点C、D在⊙O上,∠A=2∠BCD,点E在AB的延长线上,∠AED=∠ABC(1)求证:DE与⊙O相切;(2)若BF=2,DF=,求⊙O的半径.
如图,AB是⊙O的直径,点C、D在⊙O上,∠A=2∠BCD,点E在AB的延长线上,∠AED=∠ABC
(1)求证:DE与⊙O相切;
(2)若BF=2,DF=,求⊙O的半径.
【考点】切线的判定.
【分析】(1)连接OD,由AB是⊙O的直径,得到∠ACB=90°,求得∠A+∠ABC=90°,等量代换得到∠BOD=∠A,推出∠ODE=90°,即可得到结论;
(2)连接BD,过D作DH⊥BF于H,由弦且角动量得到∠BDE=∠BCD,推出△ACF与△FDB都是等腰三角形,根据等腰直角三角形的性质得到FH=BH=BF=1,则FH=1,根据勾股定理得到HD==3,然后根据勾股定理列方程即可得到结论.
【解答】(1)证明:连接OD,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
∴∠A+∠ABC=90°,
∵∠BOD=2∠BCD,∠A=2∠BCD,
∴∠BOD=∠A,
∵∠AED=∠ABC,
∴∠BOD+∠AED=90°,
∴∠ODE=90°,
即OD⊥DE,
∴DE与⊙O相切;
(2)连接BD,过D作DH⊥BF于H,
∵DE与⊙O相切,
∴∠BDE=∠BCD,
∵∠AED=∠ABC,
∴∠AFC=∠DBF,
∵∠AFC=∠DFB,
∴△ACF与△FDB都是等腰三角形,
∴FH=BH=BF=1,则FH=1
,∴HD==3,
在Rt△ODH中,OH2+DH2=OD2,
即(OD﹣1)2+32=OD2,
∴OD=5,
∴⊙O的半径是5.
【点评】本题考查了切线的判定和性质,等腰三角形的判定,直角三角形的性质,勾股定理,正确的作出辅助线是解题的关键.
下列说法,正确的有:A 延长直线AB B 延长线段BC C 延长射线OA D 画直线 在射线AB上 2020-05-15 …
如图,已知直线a‖b,且a与b之间的距离为4,点A到直线a的距离为2,点B到直线b的距离为如图,已 2020-05-16 …
如图所示,直线EF‖GH,A是直线EF上一点,B,C,D分别是直线GH上的三点,且AB=AC,D 2020-07-09 …
在同一平面内,直线a,b有两个以上的公共点,则直线a与直线b写出它们在同一平面内,直线a,b有两个 2020-07-25 …
直线a,b是异面直线,A,B,C为直线a上三点,D,E,F是直线b上三点,A',B',C',D', 2020-07-31 …
如图,在平面直角坐标系中,直线与抛物线交于A、B两点,点A在x轴上,点B的横坐标为-8.(1)求该 2020-08-01 …
初一平行数学题已知直线a‖b,直线a,b上分别有A,B两点,直线c与直线a,b分别交与CD两点,有 2020-08-02 …
已知直线a和b是两条异面直线,点A、C在直线a上,点B、D在直线b上,且A、B、C、D是不同的四点 2020-08-02 …
以点A为圆心,线段a的长为半径,在射线AM上画弧,交点为B,再以点B为圆心,以线段b(a大于b)的 2020-08-03 …
(2013•鄂州)如图,已知直线a∥b,且a与b之间的距离为4,点A到直线a的距离为2,点B到直线b 2020-11-02 …