如图，AB是O的直径，点C、D在O上，∠A=2∠BCD，点E在AB的延长线上，∠AED=∠ABC（1）求证：DE与O相切；（2）若BF=2，DF=10，求O的半径．

Question

如图，AB是 O的直径，点C、D在 O上，∠A=2∠BCD，点E在AB的延长线上，∠AED=∠ABC

（1）求证：DE与 O相切；
（2）若BF=2，DF=√(10)，求 O的半径．

Answer 1

（1）证明：连接OD，
∵AB是 O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠A+∠ABC=90°，
∵∠BOD=2∠BCD，∠A=2∠BCD，
∴∠BOD=∠A，
∵∠AED=∠ABC，
∴∠BOD+∠AED=90°，
∴∠ODE=90°，
即OD⊥DE，
∴DE与 O相切；

（2） 连接BD，过D作DH⊥BF于H，
∵DE与 O相切，
∴∠BDE=∠BCD，
∵∠AED=∠ABC，
∴∠AFC=∠DBF，
∵∠AFC=∠DFB，
∴△ACF与△FDB都是等腰三角形，
∴FH=BH=(1)/(2)BF=1，则FH=1，
∴HD=√(DF2-FH2)=3，
在Rt△ODH中，OH²+DH²=OD²，
即（OD-1）²+3²=OD²，
∴OD=5，
∴ O的半径是5．