如图，已知l1⊥l2，⊙O与l1，l2都相切，⊙O的半径为1cm，矩形ABCD的边AD、AB分别与l1，l2重合，AB=23cm，AD=2cm，若⊙O与矩形ABCD沿l1同时向右移动，⊙O的移动速度为2cm/s，矩形ABCD的移动速度为3cm/s

Question

如图，已知l₁⊥l₂，⊙O与l₁，l₂都相切，⊙O的半径为1cm，矩形ABCD的边AD、AB分别与l₁，l₂重合，AB=2√(3)cm，AD=2cm，若⊙O与矩形ABCD沿l₁同时向右移动，⊙O的移动速度为2cm/s，矩形ABCD的移动速度为3cm/s，设移动时间为t（s）

（1）如图①，连接OA、AC，则∠OAC的度数为______°；
（2）如图②，两个图形移动一段时间后，⊙O到达⊙O₁的位置，矩形ABCD到达A₁B₁C₁D₁的位置，此时点O₁，A₁，C₁恰好在同一直线上，求圆心O移动的距离（即OO₁的长）；
（3）在移动过程中，圆心O到矩形对角线AC所在直线的距离在不断变化，设该距离为d（cm），当d＜1时，求t的取值范围（解答时可以利用备用图画出相关示意图）．

Answer 1

（1）∵l₁⊥l₂，⊙O与l₁，l₂都相切，
∴∠OAD=45°，
∵AB=2√(3)cm，AD=2cm，
∴CD=2√(3)cm，
∴tan∠DAC=(DC)/(AD)=√(3)，
∴∠DAC=60°，
∴∠OAC的度数为：∠OAD+∠DAC=105°，
故答案为：105；

（2）如图位置二，当O₁，A₁，C₁恰好在同一直线上时，设⊙O₁与l₁的切点为E，
连接O₁E，可得O₁E=1，O₁E⊥l₁，
在Rt△A₁D₁C₁中，∵A₁D₁=2√(3)cm，C₁D₁=2cm，
∴tan∠C₁A₁D₁=√(3)，∴∠C₁A₁D₁=60°，
在Rt△A₁O₁E中，∠O₁A₁E=∠C₁A₁D₁=60°，
∴A₁E=(1)/(tan60°)=(√(3))/(3)，
∵A₁E=AA₁-OO₁-1=t-1，
∴t-1=(√(3))/(3)，
∴t=(√(3))/(3)+1，
∴OO₁=2t=(2√(3))/(3)+2；

（3）①当直线AC与⊙O第一次相切时，设移动时间为t₁，
如图，此时⊙O移动到⊙O₂的位置，矩形ABCD移动到A₂B₂C₂D₂的位置，
设⊙O₂与直线l₁，A₂C₂分别相切于点F，G，连接O₂F，O₂G，O₂A₂，
∴O₂F⊥l₁，O₂G⊥A₂C₂，
由（2）得，∠C₂A₂D₂=60°，
∴∠GA₂F=120°，
∴∠O₂A₂F=60°，
在Rt△A₂O₂F中，O₂F=1，∴A₂F=(√(3))/(3)，
∵OO₂=2t₁，AF=AA₂+A₂F=t₁+(√(3))/(3)，
∴2t₁+(√(3))/(3)-t₁=1，
∴t₁=1-(√(3))/(3)，
②当直线AC与⊙O第二次相切时，设移动时间为t₂，
记第一次相切时为位置一，点O₁，A₁，C₁共线时位置二，第二次相切时为位置三，
由题意知，从位置一到位置二所用时间与位置二到位置三所用时间相等，
∴(√(3))/(3)+1-（1-(√(3))/(3)）=t₂-（(√(3))/(3)+1），
解得：t₂=√(3)+1，
综上所述，当d＜1时，t的取值范围是：1-(√(3))/(3)＜t＜√(3)+1．