如图所示，光滑水平面AB与半径R=0.4m的光滑竖直半圆轨道BCD在B点相切，D为轨道最高点，用轻质细线连接甲、乙两小球，中间夹一处于压缩的轻质弹簧，弹簧与甲、乙两球不栓接．甲球的质量

Question

如图所示，光滑水平面AB与半径R=0.4m的光滑竖直半圆轨道BCD在B点相切，D为轨道最高点，用轻质细线连接甲、乙两小球，中间夹一处于压缩的轻质弹簧，弹簧与甲、乙两球不栓接．甲球的质量为m₁=0.1kg，乙球的质量为m₂=0.3kg，甲、乙两球静止在光滑的水平面上．现固定甲球，烧断细线，乙球离开弹簧后进入半圆轨道，通过D点平抛的落地点距B点x=0.8m．重力加速度g取10m/s²，甲、乙两球可看作质点．

（1）试求细线烧断前弹簧的弹性势能；
（2）若甲球不固定，烧断细线，求乙球离开弹簧后进入半圆轨道能达到的最大高度．

Answer 1

（1）乙球做平抛运动，
竖直方向：2R=(1)/(2)gt²，
水平方向：x=v_Dt，
解得：v_D=2m/s，
由机械能守恒定律得：E_P=m₂g•2R+(1)/(2)m₂v_D²，
解得：E_P=3J；
（2）甲不固定，以向右为正方向，甲乙系统动量守恒，由动量守恒定律得：
m₂v₂-m₁v₁=0，
由机械能守恒定律得：E_P=(1)/(2)m₁v₁²+(1)/(2)m₂v₂²，
对乙球，由机械能守恒定律得：m₂gh=(1)/(2)m₂v₂²，
解得：h=0.25m<R，
乙球不会脱离半圆轨道，乙球能到达的最大高度为：h=0.25m；
答：（1）细线烧断前弹簧的弹性势能为3J；
（2）若甲球不固定，烧断细线，乙球离开弹簧后进入半圆轨道能达到的最大高度为0.25m．