设函数f(x)=alnx-bx^2(x>0)(1)若函数f(x)在x=1处与直线y=-1/2相切，求函数f(x)在[1/e,e]上的最大值（2）当b=0时，若不等式f(x)>=m+x对所有的a∈[1,3/2],x∈(1,e^2]都成立，求实数m的取值范围

Question

设函数f(x)=alnx-bx^2(x>0)
(1)若函数f(x)在x=1处与直线y=-1/2相切，求函数f(x)在[1/e,e]上的最大值（2）当b=0时，若不等式f(x)>=m+x对所有的a∈[1,3/2],x∈(1,e^2]都成立，求实数m的取值范围

Answer 1

直线y=-1/2，斜率K=0
f'(x)=a/x-2bx
f'(1)=a-2b=0
f(1)=-b=-1/2
a=1,b=1/2
∴f(x)=lnx-x²/2
f'(x)=1/x-x
驻点：x=1 （-1不在定义域）
f(1)=-1/2
f(1/e)=-1-1/2e²
f(e)=1-e²/2
∴最大值=-1/2
(2)b=0
f(x)=alnx
令g(x)=f(x)-m-x=alnx-x-m, x∈(1,e²] a∈[1,3/2]
g'(x)=a/x-1
驻点x=a
g''(x)=-a/x²<0 g(a)是最大值
a=1是，x=1,不在区间内，驻点不存在，g'(x)=1/x-1<0,g(x)单调递减：
g(x)≥g(e²)=2-e²-m≥0→m≤2-e²
1x∈(1,a),g'(x)>0,g(x)单增，g(x)>g(1)=-1-m
x∈(a,e²),g'(x)<0,g(x)单减，g(x)≥g(e²)=2a-e²-m≤3-e²-m∴g(e²)=2a-e²-m是最小值≥0
m≤2a-e²
∵a≥1
∴m≤2-e²
综上m的取值范围是 m≤2-e²